Triángulo de Sierpinski con latas de refresco

En este curso, he realizado junto a mi alumnado de taller de matemáticas un triángulo de Sierpinski creado con latas de refresco. Lo primero, agradecer a mis alumnos su disposición e ilusión que pusieron en dicha tarea.

Nota: esta idea la encontré en esta presentación.

De Proyecto Sierpinski

De entre los diferentes proyectos que les planteé al principio de curso este fue el que más les gustó y nos pusimos manos a la obra.

El objetivo fundamental era hacer matemáticas alrededor de la construcción de la escultura del triángulo de Sierpisnki con las latas de refresco. Para ello empezamos familiarizándonos con el triángulo de Sierpinski mediante la observación y el análisis del patrón de construcción que tiene dicho fractal.

Paso 1   Paso 3

Usamos el programa Geogebra para diseñar las diferentes pasos de construcción que íbamos a realizar. Me sorprendió lo mucho que les gustó dicho programas y la facilidad con la que fueron creando las diferentes estructuras geométricas. Aproveché dicha situación para hacer diferentes problemas geométricos como el dibujo de la mediatriz (que está en el diseño del triángulo) y la bisectriz.

En Geogebra, diseñamos los módulos de construcción que posteriormente usaríamos en la escultura. Estuvimos dudando entre dos tipos de módulos que analizamos durante todo el proyecto para al final decidirnos por uno.

Módulo base 1Módulo base 2

Todos los trabajos que íbamos realizando día a día, los publicábamos en el blog que creamos para el proyecto. Os animo a visitarlo y ver el trabajo que fueron realizando los alumnos.

A la vez que íbamos diseccionando el proyecto, fueron  trayendo las latas hasta que tuvimos suficientes. Gracias.

Una vez que teníamos interiorizados los pasos de construcción de la figura, hicimos diferentes tipos de cálculos: número de latas que necesitábamos, altura del triángulo, área que ocupaba, peso de la estructura vacía y con refresco, volumen, etc.

Nos surgieron situaciones muy enriquecedoras que no tenía previstas como el día que llevamos la báscula para pesar las latas y se dieron cuenta de la diferencia que surgía al pesar una sola lata y tres. Si multiplicaban el peso de una lata por tres no les salía lo mismo que le peso de las tres latas, les sorprendió y les animé a que vieran el porqué. No me cabe duda de que ese día entendieron mejor el concepto de redondeo y aproximación que en la clase de matemáticas. Al final decidieron, con buen criterio, hacer pesadas de módulos de tres y seis latas.

La última parte que era la construcción de escultura, y gracias a mi compañero Miguel Ángel Olarte que me asesoró y ayudó en esta parte, recomendándome el mejor material y las pautas más importantes  a seguir, nos fuimos al taller de tecnología a pegar las latas con pistolas de silicona. Nos dividimos en grupos y fuimos poco a poco montando la escultura. Experiencia gratificante y agotadora ;-).

Finalizamos el proyecto con una exposición en el hall del Instituto junto a los diferentes trabajos que hicieron los alumnos sobre el triángulo de Sierpinski.

De Proyecto Sierpinski
De Proyecto Sierpinski

Os dejo un álbum de fotografías en el que podéis ver como se desarrolló parte del proyecto.

Gapminder, una visión del mundo basada en datos

Gapminder es una fundación sin fines de lucro con sede en Estocolmo. Tal y como se dicen ellos mismos, tratan de dar una visión del mundo basada en los hechos (for a fact-based world view) poniendo a nuestra disposición un método que nos haga más fácil entender los datos. Nos dotan, entre otras cosas, de una potente herramienta gráfica, muyl visual, para analizar diferentes tipos de datos numéricos de distintos países en forma de secuencia temporal.

Los datos que podemos encontrar dentro de Gapminder van desde el número de casos de VIH, la esperanza de vida, la malnutrición infantil, el número de hijos que ha tenido una mujer, las emisiones de CO2, la edad del primer matrimonio, renta per capita, producto interior bruto, gasto energético, consumo energético, … En total, 503 indicadores que podemos analizar.

La herramienta nos permite correlacionar de forma sencilla cualquiera de los indicadores y mediante una animación temporal tener la posibilidad de analizar la evolución temporal. Además, podemos elegir los países que queremos estudiar.

Por ejemplo, podemos analizar la relación existente entre la edad del primer matrimonio y el número de niños por mujer (fertilidad). Obtendríamos el siguiente gráfico:

Observando el gráfico podemos ver que cada país es una burbuja y el color nos dice a qué continente pertenece. En el eje X, aparece el número de niños por mujer y en el eje Y, la edad de primer matrimonio. Aunque no nos vamos a detener a analizar el gráfico en cuestión, podemos observar que si la edad del primer matrimonio está por encima de los 30, el número de hijos por mujer no supera los dos. También podemos ver que los países africanos son los que más niños tienen, por encima de cinco. Y aquí es dónde veo una de las potencialidades de la herramienta, podemos de forma muy sencilla plantear preguntas a los alumnos como ¿se puede concluir que la edad del primer matrimonio marca el número de hijos? ¿qué conclusiones se sacan del gráfico? ¿por qué hay más nacimientos en Africa?…

Además en la herramienta tenemos una animación temporal que nos permite ver la evolución temporal de los datos. Podemos ir a un año concreto, ver la evolución de uno o varios países, etc.

Pero antes de ver todas las posibilidades del recurso, quiero exponer las razones por las que me parece fantástico.

Soy de matemáticas y creo firmemente en el cambio de enfoque que necesita la enseñanza de las matemáticas tal y como lo expone Arthur Benjamin en su charla de TED. Es fundamental que enseñemos a nuestros alumnos a interpretar datos numéricos y que estos nos sirvan para entender la realidad. O sea, aprendamos más estadística para ser mejores ciudadanos.

Sin más que mirar esta concepción, Gapminder se adapta perfectamente a esa idea. Tenemos datos numéricos, gráficos y estadísticas todas ellas directamente relacionas con la realidad. Pero es que además de ello, me parece una excelente forma de establecer hipótesis, de plantear problemas, de analizar y sintetizar ideas sobre bases matemáticas y de fomentar el método científico.

Pero lo más importante del recurso, y esto ya es una percepción personal, es descubrir un sitio en el que podemos encontrar muchas ideas para desarrollar proyectos interdisciplinares. A poco que veamos, todas o casi todas las áreas se pueden ver representadas. Las matemáticas por lo anteriormente citado y algunas cosas más que se me ocurren y no son tan claras (¿con qué proyección está hecho el mapa mundi del gráfico? Hagámoslo, escalas, proporciones, áreas,…). En plástica, por ejemplo, expresar la malnutrición, trabajar las representación de mapas, escalas, etc. En historia, como veremos más adelante es excelente, además de ser un buen sitio para lanzar el cebo a los alumnos. Conocimiento del medio, evidente. Lengua, por supuesto no puede quedar fuera, se necesita saber expresar y plasmar nuestras ideas a través del lenguaje…

A mi se me han ocurrido unas cuantas que se podrían llevar a cabo. Muchas de ellas, me han llegado gracias a la apertura de mente que me ha dado conocer el extraordinario proyecto de matemáticas en el que se ha embarcado mi hermana Begoña, “El Hambre y las Matemáticas“.

Por ejemplo, se me ocurre “la malnutrición en el mundo”, “producimos menos y consumimos más”,  “reparto de la riqueza”, …

Una vez expuesto lo anterior, veamos con más detalle la herramienta.

En la web de Gapminder podemos encontrar diferentes apartados, la herramienta en si la tenemos en “Gapminder World“:

  • Data: Encontramos todos los indicadores que podemos analizar en Gapminder World. Para cada uno tenemos la posibilidad de descargranso el fichero de datos en formato excel, abrir los datos en la hoja de cálculo de Google Docs o ver la representación gráfica en Gapminder World.
  • Vídeos: Un catálogo de vídeos de conferencias en los que Hans Rossling, cofundador de la fundación Gapminder, defiende diferentes hipótesis a través de los datos usando la herramienta Gapminder World. Os dejo uno en el que habla sobre la relación entre el número de hijos que tienen las mujeres y la religión. Os animo a verlo, es sorprendente el resultado y la hipótesis final.

  • Downloads: Aunque la versión online funciona de maravilla, también tenemos la posibilidad de descargarnos una aplicación de escritorio para aquellos momentos en los que no tenemos red. Debemos tener en cuenta que tal y como anuncian en su página, la versión de escritorio no está siendo actualizada.
  • For Teachers: podemos encontrar ejemplos y propuestas de uso de Gapminder en Educación.
  • Labs: Encontraremos los nuevos indicadores que están llevando a cabo y que por lo tanto los tienen en el laboratorio. Es muy recomendable ver el de agricultura en el que han añadido 700 indicadores de la Organización para la Alimentación y la Agricultura (FAO) sobre la producción de frutas, ganado (animales), cultivos oleaginosos y mucho más.

Como el apartado mś relevante es Gapminder World veamos sus posibilidades.

Gapminder World

Al acceder a la web podemos comprobar que tenemos dos zonas diferenciadas. A la izquierda está el menú de opciones en donde podemos elegir los gráficos predefinidos ya creadas mediante el botón “Open Graph Menu” y a la derecha, la aplicación en sí, con la que podemos jugar con los datos. Por defecto sale el gráfico  Wealth & Health of Nations que nos relaciona la riqueza con la salud de los países comparando los indicadores de la renta per capita por habitante frente a la esperanza de vida.

Al pulsar en  “Open Graph Menu“, se nos abre una ventana con los principales tópicos a elegir: mortalidad infantil,  clima, desastres, economía, etc.

En la zona de la derecha tenemos la aplicación de Gapminder World. Os dejo una traducción que he realizado de la guía original [eng] que nos aporta Gapminder:

De 23 de enero de 2013

 El manejo es muy sencillo pudiendo hacer lo siguiente:

  • Cada país viene representado por una burbuja de color. Por defecto el tamaño de la burbuja depende del nº de habitantes y el color por el continente al que pertenecen. Tanto el color como el tamaño se pueden cambiar en la sección “color” y “size“.
  • Cambiar los indicadores de los ejes sin más que pulsar sobre el nombre del indicador.
  • Abajo tenemos un reproductor temporal que al darle al play pondrá en funcionamiento una animación que nos mostrará la evolución temporal. Por supuesto, nos podemos mover por la línea del tiempo sin más que haciendo clic.
  • Podemos seleccionar países concretos de forma que al hacer la simulación temporal  dibujará una gráfica con su evolución.

Antes de ver los ejemplos podéis ver el vídeo que he creado que muestra el uso de la aplicación para comparar la “Esperanza de vida” vs “Renta per capita” entre Angola y España:

 

Veamos unos ejemplos de uso:

Análisis de la evolución de la esperanza de vida en el mundo

Podemos empezar viendo la situación en 1800 ( hay que tener en cuenta que cuando no sale algún país puede ser porque no hay datos en esas fechas):

 

Sin más que ver el gráfico ya podríamos empezar a plantear preguntas a los alumnos, o mejor esperar a que ellos nos las hagan:

  • ¿Se nota alguna diferencia por continentes?
  • ¿Hay mucha relación entre los ingresos y la esperanza?
  • ¿Influirá la alimentación? ¿La higiene? …  p

Todas estas preguntas pueden tener respuesta o todavía nos pueden salir más preguntas. Nacer nuevas hipótesis si vemos lo que ha sucedido hasta el 2011:

¿Sorprendente o, desgraciadamente no? ¿Podemos simplemente a través de un gráfico que interpreta números trabajar valores? Si dejamos que crezca en los chicos la curiosidad tendremos mucho ganado. 

Por ejemplo no sería descabellado que quieran comprobar la evolución de España con algún país del tercer mundo. Aquí tenéis una comparación entre Ángola y España:

  • Primero debemos selccionar los países:

  • Ahora le damos la play empezando en 1800:

Podemos replantear las preguntas anteriores o crear unas nuevas enlazando con lo que nos parezca. Al final lo que queremos es que razonen, interpreten y planteen hipótesis:

  • Analizando los gráficos ¿Cuál será la esperanza de vida en 2050 y en 2100? (muchas matemáticas y maś).
  • ¿Cuáles serán las causas para que España haya pasado de los 30 años a los 80 años? ¿Y por qué Ángola no?
  • Si observamos el gráfico en España hay una fuerte caída en 1918, ¿por qué? (Historia, salud, conocimeinto del medio y también mates)
  • Más trivial ¿Y la caída de 1936 a 1939?
  • ¿Por qué en diferentes años con una renta per capita similar (alrededor de 4000 dolares) se produjo una duplicación en la esperanza de vida?

La desnutrición en menores de 5 años

Si por ejemplo, estamos trabajando el hambre ( como en el fenomenal proyecto que ya os he nombrado), puede ser interesante estudiar la desnutrición en menores de 5 años. Mucho me temo que desgraciadamente ambos asusnts están directamente relacionados.

Para este análisis podemos recurrir al Mapa y elegir como tamaño de las burbujas dicho indicador:

Demoledor y fuertemente ilustrativo. Y podríamos seguir comparando, por ejemplo la producción de energía y el consumos de ella. Os dejo las preguntas a vosotros que a mi me duele el alma.

Os pongo otro ilustrativo relativo al SIDA, a modo de conclusión y que cada uno saque sus conclusiones. 

Adultos de 15-49 años con SIDA

 

Gapminder en España

Si queremos trabajar con datos de nuestro país,  el Observatorio de las Desigualdades en la Salud en España, usando la tecnología de Gapminder ha creado los siguientes indicadores por “Género y clase social” y por “Comunidades Autónomas“:

 

 

Y aunque esto no tiene nada que ver con las herramientas que sí con la educación. Por favor, que luego no me venga nadie con cuentos de la inmigración.

Y finalizo con el poema Migración de Pablo Neruda y una frase de Eduardo Chillida:

TODO el día una línea y otra línea,

un escuadrón de plumas,
un navío
palpitaba en el aire,
atravesaba
el pequeño infinito
de la ventana desde donde busco,
interrogo, trabajo, acecho, aguardo.

La torre de la arena
y el espacio marino
se unen allí, resuelven
el canto, el movimiento.

Encima se abre el cielo.

 

“Un hombre, cualquier hombre, vale más que una bandera, cualquier bandera.” (Eduardo Chillida)

Recursos matemáticos para 1º ESO y mucho más

Hace unos días, una buena amiga a la que tengo un especial cariño, me comentó que iba a tener que impartir clases de matemáticas en 1º de la ESO (ella no es de mates) y le recomendé una serie de recursos. La mayoría son o bien libros interactivos o contienen unidades didácticas completas o excelentes manipuladores virtuales para experimentar con las matemáticas.

En este post, quiero compartir todos estos recursos y alguno más. Muchos de ellos sirven para toda la ESO y para los últimos cursos de primaria y otros tienen cabida en cualquier nivel. Hay recursos que solo son para el área de matemáticas y otros son para todas. En fin, os animo a que les echéis una ojeada, seáis o no de mates ;-). 

Brockhaus & Efron Encyclopedic Dictionary

 

Libros interactivos del Proyecto Edad

El proyecto Ed@d (Educación Digital a Distancia) creo unos excelentes libros interactivos para los cuatro cursos de ESO. Los de matemáticas constan de gran cantidad de applets interactivos (manipuladores virtuales) basados en Geogebra y en Descartes para poder experimentar durante el aprendizaje.

 

URL: http://recursostic.educacion.es/secundaria/edad/#

Libro Interactivo de i-matemáticas

Un excelente libro interactivo para 1º de la ESO creado por Joaquín García Mollá, autor del fenomenal blog i-matematicas.

URL: http://i-matematicas.com/Descartes/Libro/


Libro competencial del CeDeC

Libro para 3º de la ESO pensado para trabajar las competencias básicas de forma activa usando las TIC.

URL: http://cedec.ite.educacion.es/index.php/es/matematicas-3o-eso


Materiales del Proyecto Gauss

El INTEF ha desarrollado el Proyecto Gauss que brinda al profesorado varios centenares de ítems didácticos y de applets de GeoGebra, que cubren todos los contenidos de matemáticas de Primaria y de Secundaria.  Están diseñados para ser utilizados tanto sobre pizarra digital como en ordenadores. Así, el Proyecto Gauss, aporta a la comunidad escolar una forma diferente y creativa de enseñar y de aprender matemáticas.

Los materiales aunque están clasificados para primaria, ESO y bachillerato, debemos de analizarlos antes para ver donde les podemos dar entrada dependiendo de los objetivos a conseguir.

URL: http://recursostic.educacion.es/gauss/web/materiales_didacticos/materiales_didacticos.htm


Materiales del Proyecto Descartes

El proyecto decano para la creación de materiales interactivos para el aula de matemáticas. Un lugar que nunca debemos de perder de vista para la enseñanza de las matemáticas.

URL: http://recursostic.educacion.es/descartes/web/index.html


Contenidos Educativos Digitales de la Junta de Extremadura

La Junta de Extremadura tiene un fenomenal repositorio de objetos digitales educativos (ODEs) para infantil, primaria, secundaria y educación especial. Hay ODEs de casi todas las áreas y cubren buena parte del currículo oficial. 

URL: http://conteni2.educarex.es/


Biblioteca de manipuladores virtuales

Este proyecto educativo es financiado por la “National Science Foundation” (Fundación Nacional de Ciencia). Comenzó en el 1999 con el objetivo de desarrollar una biblioteca de manipuladores virtuales interactivos (principalmente applets en Java), disponibles a través de la Web, para contribuir a la enseñanza de las matemáticas. Para entender la correspondencia entre los grados americanos y nuestrso estudios basta con saber que el grad 12 equivale a 2º de bachillerato. Por lo tanto, 1º de la ESO es el grado 7.

URL: http://nlvm.usu.edu/es/nav/vlibrary.html


Thinklets

Otra excelente recopilación de manipuladores virtuales creados por el Instituto Freudenthal (padre de la matemática realista).

URL: http://www.fi.uu.nl/thinklets/


Didactimatic Primaria

Este blog creado por Juan García Moreno, se merece un post por si solo que dejo para más adelante.

Aunque está enfocado a primaria, es una web imprescindible para todos lo que nos gusta la didáctica de las matemáticas. En él podemos encontrar las mejores recopilaciones de manipuladores virtuales para la enseñanza de las matemáticas en primaria, muchos de ellos pueden ser usados perfectamente en Secundaria. Os dejo las direcciones donde tiene Juan recogidos los maniuladores:

URL: http://www.didactmaticprimaria.com/


Nota: cuando veo la gran cantidad de excelentes recursos que hay en la actualidad y veo lo que están haciendo muchos profesores con años de experiencia en TIC. Muy pocos están tratando de analizar como podemos explotar estos recursos con los cambios metodológicos necesarios (eso sí podría ser innovación). Al contrario, seguimos buscando más y más herramientas que básicamente hacen lo mismo. Y en base a todo lo anterior me pregunto a modo de reflexión: ¿queremos reinventar la rueda.? ¿Cuándo haremos invisible a la tecnología? ¿Cuándo nos empezaremos a preocupar por lo importante? ¿Cuándo nos daremos cuenta, de verdad, que la tecnología la han de usar los alumnos? ¿Cuándo vamos a poner los pies en el suelo y trabajar con los recursos que tenemos y no con los que queremos ( y no podemos) tener?  …

Inspiración matemática

En los siguientes artículos de este blog, ya he puesto unos maravillosos vídeos creados por  Cristóbal Vila de Etérea Studios:

En este artículo os invito a ver esta otra maravilla de Criśtobal titulada “Inspiration“, que tal y como dice, trata de imaginar como sería el escritorio de trabajo del genial Escher.

La cantidad de matemáticas y de recursos matemáticos que podemos encontar en él es fantástica:

Aquí tenéis el vídeo, que lo disfrutéis:

INSPIRATIONS from Cristóbal Vila on Vimeo.

Más información: Inspirations.

Sistema Solar en 3D

En “Interactive 3D model of Solar System” podemos encontrar una fascinante herramienta para ver el Sistema Solar en tres dimensiones. Su funcionamiento es extremadamente sencillo, todo se hace a golpe de clic y las principales cosas que podemos hacer son:

  • Ver la posición de los planetas y sus orbitas solares.
  • Calcular la distancia de cualquiera de los planetas o satélites al sol o los otros planetas.
  • Mover los planetas en la órbita y comprobar la posición de tode el Sistema Solar.
  • Visualizar la bóveda terrestre desde cualquier punto del planeta y a la hora deseada. Conocer las constelaciones, estrellas y su distancia a la tierra.
  • Ver como se van moviendo los palnetas al transcurrir el tiempo (ideal para ver la rotación de la Luna y los movimientos de los planetas con respecto al Sol.

Os dejo un vídeo que he creado con las principales posibilidades de la herramienta:

 

Uso educativo

Partiendo de esta herramienta podríamos crear un bonito proyecto que consistiría en crear una maqueta del Sistema Solar a escala. En el aspecto matemático se podrías trabajar múltiples aspectos:

  • Semejanza: escalas, planos, etc…
  • Medidas de longitud, superficie y de volumen.
  • Geometría del círculo, de la elipse.
  • Trigonometría, enlazándola con el cálculo de la distancia a la Luna, el radio de la Tierra, etc…

PD: En el caso de que no podamos crear la maqueta en otras asignaturas, podemos crear una variante más sencilla para el aula de matemáticas consistente en la creación de una representación plana del Sistema Solar.

Me encantaría conocer vuestra opinión.

Poesía y Pi


Imagen de BrittneyBush en Flickr [link]

Esta es, y no lo es, una entrada  al número \Pi , dos poesías os pongo, alguna relación más con él tendrán y más pistas no os puedo dar.

Con la primera voy a empezar, espero que os guste no más:

 
Soy y seré a todos definible,
mi nombre tengo que daros,
cociente diametral siempre inmedible
soy de los redondos aros.

Manuel Golmayo


La segunda ahí va, mejor para mi será, seguro os gustará:

 
Soy \Pi  , lema y razón ingeniosa
de hombre sabio, que serie preciosa
valorando, enunció magistral.
Por su ley singular, bien medido
el grande orbe por fin reducido
fue al sistema ordinario usual.

R. Nieto París

Aquel que sepa más, un premio tendrá, para ello en este blog ha de comentar.

¿Más Sprite o Coca Cola? [Sol]

En una entrada anterior planteé este problema sacado del blog de Dan Meyer. Tras ver el siguiente vídeo había que responder que vaso contenía más bebida original, el de Sprite o el de Coca Cola.

[WCYDWT] Coke v. Sprite from Dan Meyer on Vimeo.

El resumen de las respuestas enviadas es:

 

El problema era un sencillo ejercicio de proporciones en el que hay que hacer los cálculos y no dejarte llevar por la primera impresión.

Veamos la solución:

Supongamos que el volumen de las latas es de 200 ml y el de la probeta 10 ml. Al inicio tendremos:

  • Vaso 1 : 200 ml de Sprite     Vaso 2: 200 ml de CC

Pasamos 10 ml de Sprite al vaso 2, luego tendremos:

  • Vaso 1: 200 ml – 10 ml = 190 ml de Sprite     Vaso 2: 10 ml de Sprite y 200 ml de CC. O sea 210 ml en total

En el último paso cogemos 10 ml del vaso 2 y lo llevamos al vaso 1. Debemos de calcular cuanto Sprite y cuanta CC hay en la probeta. Las proporciones de cada bebida (bebida/total) serán 10/210 de Sprite y 200/210 de CC, simplificando 1/21 de Sprite y 20/21 de CC. Luego en la probeta iran 10/21 ml de Sprite y 200/21 ml de CC. Entonces tendremos:

  • Vaso 1: 200 ml – 200/21 ml = 4000/21 ml de CC  y 10 ml – 10/21 ml= 200/21 ml de Sprite.
  • Vaso 2: 190 ml + 10/21 ml = 4000/21 ml de Sprite y 200/21 ml de CC.

Por lo tanto, ambos vasos contienen las mismas cantidades de bebida original (el cálculo de la 2ª línea no hacía falta realizarlo).

Si quisieramos hacerlo de forma general, llamamos V1= volumen lata y V2=volumen probeta y realizando los cálculos nos saldrá que el volumen original en cada vaso es: \displaystyle\frac{V1^2}{V1+V2}