problemas – Blog de Antonio Omatos

Actividades matemáticas para la primera semana de clase (II): Investigaciones

Publicada el 11 septiembre 2015 por antonio

Fuente imagen: Autor Geralt (https://pixabay.com/p-580894/)

Esta entrada es la continuación de una anterior en la que compartí con vosotros una serie de juegos para usar en la primera semana de clase, así como una reflexión en la que daba mi opinión sobre el enfoque de la clase de matemáticas y los prejuicios que existen en la sociedad con respecto a las matemáticas.

Ahora os quiero compartir otra serie de actividades de investigación abiertas que ayudan a trabajar el razonamiento matemático mediante la investigación. En ellas los alumnos crearán conjeturas, reducirán a casos más simples, validarán sus hipótesis, discutirán sus soluciones y, no menos importante, se divertirán haciendo matemáticas.

Problema 1: ¿Cuántos cuadrados hay?

Empezamos con un problema sencillo que requiere una estrategia de simplificar el problema.

Problema 2: La mágica fórmula de Euler

Observa el dibujo y haz lo siguiente:

Dibuja un garabato sin levantar el lápiz del papel, de forma que la línea que dibujes se corte consigo misma. Deja el principio y el final de la línea bien visibles.
Esta es la predicción que vamos a hacer: C+V=A+2
Cuenta los nodos, es decir, los puntos en los que la línea que has dibujado se corta consigo misma. Incluye también el comienzo y el final de la línea. A esta cantidad la llamaremos V.
Cuenta las zonas en las que ha quedado dividido el papel, incluyendo la zona exterior. No te dejes ni un hueco. A este número le vamos a llamar C.
Ahora cuenta los segmentos en los que ha quedado dividida la línea que has trazado. No olvides el principio y el final de la línea. A este número lo llamaremos A.
¿Se ha cumplido la predicción? ¿Te da C+V=A+2?

Fuente: Divermates

Problema 3: ¿Qué estás diciendo?

Se les muestra a los alumnos este texto y tienen que tratar de adivinar qué estamos diciendo. Podemos seguir, invitándoles a crear sus propios códigos.

Problema 4: Los puntos y las líneas

Une los nueve puntos de la figura mediante una sola línea que conste de cuatro segmentos sin levantar el lápiz del papel.

PD: No se puede aplicar el teorema del punto gordo 😉

Problema 5: Estructuras de cubos

Construye las dos figuras que siguen de cada una de las series:

¿Cuántos cubos se necesitan para una altura de 6? ¿y de 8? ¿y para 50?
Generaliza para una altura cualquiera

Para esta investigación, es ideal contar con cubos de construcción.

Problema 6: Super Stairs por Dan Meyer

Esta actividad está basada en uno de mis ídolos en la enseñanza de las matemáticas: Dan Meyer. Antes de explicar la actividad, os invito a ver el vídeo de Dan Meyer «Las clases de matematicas necesitan un cambio de imagen» en el que explica su metodología, de lo mejor que he visto y que podéis ver:

Una vez visto el vídeo vamos a la tarea.

En esta actividad vamos a usar el método de los tres pasos de Dan Meyer. En concreto, todo lo necesario para la investigación lo tenemos en esta web:

En el primer paso, vemos el vídeo que podemos encontrar en la web.
En el segundo paso, los alumnos se hacen preguntas y solicitan datos. que les daremos, pero siempre después de que ellos los pidan, no antes.
En el tercer paso, vemos la respuesta y contrastamos las respuestas de los alumnos.

En el vídeo vemos a Dan Meyer subiendo escaleras. Las preguntas a resolver son:

¿Cuántos pasos realiza el súper escaleras?
¿Cuánto tiempo le llevará realizarlos?

PD: esta investigación la hice el curso pasado con los alumnos de 4º de ESO y nos lo pasamos en grande. Y el razonamiento matemático que hay detrás es bastante grande y, sobre todo, es una forma muy real de aplicarlo.

Problema 7: Graduación por Dan Meyer

Es otro de los muchos que me gustan de Dan Meyer. Os dejo con el enlace y la metodología es la misma que para el problema anterior:Graduation http://www.101qs.com/3530

La pregunta es «¿Cuánto tiempo puede durar mi siesta si no quiero perderme la graduación de mi primo Adarsh?»

Problema 8: Triángulo de unos y ceros

De la figura de al lado:

Deduce como se construye el triángulo
¿Qué filas tendrán todos los números iguales?
¿Cuántos números son necesarios para construir las primeras 5 filas? ¿ Y las 100?
¿Cuántos números habrá en un triángulo de n filas?

Problema 9: Oh, ¿para dónde voy?

En la siguiente imagen, extraída de Figure This del NCTM, se nos plantea un problema que debemos resolver:

Problema 10: ¿Cuán rápido late tu corazón?

Similar al anterior pero con esta imagen:

Problema 11: Adivina el número entre 1 y 100

Y finalizo con uno muy sencillo perteneciente al Proyecto Descartes que me ha recomendado José A. Salgueiro en twitter.

Accedemos a la siguiente web y jugamos en la pizarra digital o con el proyector al juego «Adivina un número del 1 al 100»

Pero no nos quedamos solo en el juego. Les animamos a:

Buscar la estrategia que te asegura hacerlo siempre en menos de 10 intentos.
Explicar con tus propias palabras el porqué.

Y esto es todo amigos, espero vuestras opiniones y, por supuesto, vuestras recomendaciones.

Juegos de estrategia para el aula de matemáticas

Publicada el 15 diciembre 2014 por antonio

«Si no puedes resolver un problema, entonces hay una manera más sencilla de resolverlo: encuéntrala»

George Polya

Crédito de la foto: Rubik de Toni Blay con cc

Que el juego es un potente elemento de aprendizaje creo que no le cabe duda a nadie. Y si hay una disciplina dónde existen múltiples juegos, ésta es las matemáticas. Me vienen las palabras del maestro Miguel de Guzmán al respecto:

“El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática. Si los matemáticos de todos los tiempos se la han pasado tan bien jugando y han disfrutado tanto contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprender la matemática a través del juego y de la belleza?”

Considero que a través de los juegos de matemáticas podemos:

Divertirnos que no es poco
Manipulación autónoma por los estudiantes
Una rápida familiarización con la situación y sus dificultades
Ensayos diversos y diferentes por los estudiantes
Investigar pautas y comportamientos en el juego
Analizar reglas y estrategias para jugar mejor lo que supone elaborar las estrategias posibles y elegir de entre ellas.
…

Si nos fijamos en todo lo anterior, podemos ver que están presentes los cuatro pasos (*) para resolver problemas que Polya nos dejó :

Entender el problema.
Configurar un plan
Ejecutar el plan
Mirar hacia atrás

Al igual que Polya pienso que el aprendizaje en base a la resolución de problemas es el recurso más potente que tenemos para el aula de matemáticas. Sin embargo, la presión del currículo, con sus excesivos contenidos, su orientación hacia el bachillerato y sus criterios de evaluación conllevan el tener que trabajar muchas veces de forma más mecánica. Esta forma de trabajar, añade más abstracción (nos olvidamos de pasar de lo Concreto a lo Abstracto CP) con lo que se otorga mayor dificultad a las matemáticas.

Por otro lado, también tenemos que luchar contra las muchas resistencias a la asignatura (la gran mayoría de los alumnos me llegan a primero con el mantra bien aprendido de que no les gustan las matemáticas, ¿comorrr?). A modo de ejemplo, os pongo un tuit que publiqué con una anécdota que me sucedió la semana pasada y que muestra muy bien lo que quiero decir:

Con objeto de romper todo lo que anteriormente he nombrado, de vez en cuando, aproximadamente cada 15 días, hacemos una sesión de problemas abiertos. Sesión que les gusta mucho, en la que nos dividimos en parejas, grupos de tres o de cuatro personas y nos ponemos a resolver problemas abiertos. Para mi problemas abiertos, son aquellos que se pueden resolver con un buen razonamiento matemático y para los que no es necesario tener muchos conocimientos de matemáticas.

Os comparto algunos de los juegos de estrategia que he usado con los alumnos dentro de dichas sesiones. En concreto, son juegos de estrategia ganadora que son muy motivantes y que les suponen un reto, sobre todo cuando ven que les gano siempre ;-):

Espero que os gusten y espero vuestras opiniones y aportaciones.

(*) Aquí tenéis una presentación que muestra el método de Polya

PD: esta entrada tiene su correspondiente clon en el blog «MatemaTICzando la realidad«

¿Más Sprite o Coca Cola? [Sol]

Publicada el 26 abril 2011 por antonio

En una entrada anterior planteé este problema sacado del blog de Dan Meyer. Tras ver el siguiente vídeo había que responder que vaso contenía más bebida original, el de Sprite o el de Coca Cola.

[WCYDWT] Coke v. Sprite from Dan Meyer on Vimeo.

El resumen de las respuestas enviadas es:

El problema era un sencillo ejercicio de proporciones en el que hay que hacer los cálculos y no dejarte llevar por la primera impresión.

Veamos la solución:

Supongamos que el volumen de las latas es de 200 ml y el de la probeta 10 ml. Al inicio tendremos:

Vaso 1 : 200 ml de Sprite Vaso 2: 200 ml de CC

Pasamos 10 ml de Sprite al vaso 2, luego tendremos:

Vaso 1: 200 ml – 10 ml = 190 ml de Sprite Vaso 2: 10 ml de Sprite y 200 ml de CC. O sea 210 ml en total

En el último paso cogemos 10 ml del vaso 2 y lo llevamos al vaso 1. Debemos de calcular cuanto Sprite y cuanta CC hay en la probeta. Las proporciones de cada bebida (bebida/total) serán 10/210 de Sprite y 200/210 de CC, simplificando 1/21 de Sprite y 20/21 de CC. Luego en la probeta iran 10/21 ml de Sprite y 200/21 ml de CC. Entonces tendremos:

Vaso 1: 200 ml – 200/21 ml = 4000/21 ml de CC y 10 ml – 10/21 ml= 200/21 ml de Sprite.
Vaso 2: 190 ml + 10/21 ml = 4000/21 ml de Sprite y 200/21 ml de CC.

Por lo tanto, ambos vasos contienen las mismas cantidades de bebida original (el cálculo de la 2ª línea no hacía falta realizarlo).

Si quisieramos hacerlo de forma general, llamamos V1= volumen lata y V2=volumen probeta y realizando los cálculos nos saldrá que el volumen original en cada vaso es: $\displaystyle\frac{V1^2}{V1+V2}$ .