Actividades de introducción al álgebra

Esta es un entrada breve, en la que solo quiero compartir con vosotros una serie de entretenimientos que nos pueden servir para introducir con nuestros alumnos la temida álgebra. No tengo ninguna duda de que el álgebra les resulta difícil a la gran mayoría de los alumnos. Es complicado pasar de unas matemáticas basadas en la aritmética a la generalización de ésta mediante símbolos (generalmente letras). Esa abstracción que requiere no es sencilla y crea muchas reticencias en los alumnos (por si ya tuviera pocas) contra las que hay que pelear. Supone un ejercicio de ponerse en el lugar de ellos y armarse de paciencia con el objetivo de que vayan viendo como poco a poco como van mejorando y empiezan a entenderla. Probablemente, si hay alguna parte del currículo de matemáticas que requiere una revisión, esta es el álgebra. Considero que se inicia antes de tiempo y con conceptos que no serían necesarios: ecuaciones como juego sí, polinomios sin saber lo que se hace no.

No me entretengo más y os comparto una serie de juegos o pasatiempos que os pueden servir para introducir el álgebra.

El código secreto

Letras al cuadrado

Lenguaje en clave secreta

Balanzas algebraicas

 

Para finalizar esta entrada os dejo con el documento que usé con mis alumnos de 1º de ESO:

Actividades matemáticas para la primera semana de clase (II): Investigaciones

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Fuente imagen: Autor Geralt (https://pixabay.com/p-580894/)

Esta entrada es la continuación de una anterior en la que compartí con vosotros una serie de juegos para usar en la primera semana de clase, así como una reflexión en la que daba mi opinión sobre el enfoque de la clase de matemáticas y los prejuicios que existen en la sociedad con respecto a las matemáticas.

Ahora os quiero compartir otra serie de actividades de investigación  abiertas que ayudan a trabajar el razonamiento matemático mediante la investigación. En ellas los alumnos crearán conjeturas,  reducirán a casos más simples, validarán sus hipótesis, discutirán sus soluciones y, no menos importante, se divertirán haciendo matemáticas.

Problema 1: ¿Cuántos cuadrados hay?

Empezamos con un problema sencillo que requiere una estrategia de simplificar el problema.

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Problema 2: La mágica fórmula de Euler

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Observa el dibujo y haz lo siguiente:

  • Dibuja un garabato sin levantar el lápiz del papel, de forma que la línea que dibujes se corte consigo misma. Deja el principio y el final de la línea bien visibles.
  • Esta es la predicción que vamos a hacer: C+V=A+2
  • Cuenta los nodos, es decir, los puntos en los que la línea que has dibujado se corta consigo misma. Incluye también el comienzo y el final de la línea. A esta cantidad la llamaremos V.
  • Cuenta las zonas en las que ha quedado dividido el papel, incluyendo la zona exterior. No te dejes ni un hueco. A este número le vamos a llamar C.
  • Ahora cuenta los segmentos en los que ha quedado dividida la línea que has trazado. No olvides el principio y el final de la línea. A este número lo llamaremos A.
  • ¿Se ha cumplido la predicción? ¿Te da C+V=A+2?

Fuente: Divermates

Problema 3: ¿Qué estás diciendo?

Se les muestra a los alumnos este texto y tienen que tratar de adivinar qué estamos diciendo. Podemos seguir, invitándoles a crear sus propios códigos.

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Problema 4: Los puntos y las líneas

Une los nueve puntos de la figura mediante una sola línea que conste de cuatro segmentos sin levantar el lápiz del papel.

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PD: No se puede aplicar el teorema del punto gordo 😉

Problema 5: Estructuras de cubos

Construye las dos figuras que siguen de cada una de las  series:

  • ¿Cuántos cubos se necesitan para una altura de 6? ¿y de 8? ¿y para 50?
  • Generaliza para una altura cualquiera

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Para esta investigación, es ideal contar con cubos de construcción.

Problema 6: Super Stairs por Dan Meyer

Esta actividad está basada en uno de mis ídolos en la enseñanza de las matemáticas: Dan Meyer. Antes de explicar la actividad, os invito a ver el vídeo de Dan Meyer “Las clases de matematicas necesitan un cambio de imagen”  en el que explica su metodología, de lo mejor que he visto y que podéis ver:

Una vez visto el vídeo vamos a la tarea.

En esta actividad vamos a usar el método de los tres pasos de Dan Meyer. En concreto, todo lo necesario para la investigación lo tenemos en esta web:

  • En el primer paso, vemos el vídeo que podemos encontrar en la web.
  • En el segundo paso, los alumnos se hacen preguntas y solicitan datos. que les daremos, pero siempre después de que ellos los pidan, no antes.
  • En el tercer paso, vemos la respuesta y contrastamos las respuestas de los alumnos.

En el vídeo vemos a Dan Meyer subiendo escaleras. Las preguntas a resolver son:

  • ¿Cuántos pasos realiza el súper escaleras?
  • ¿Cuánto tiempo le llevará realizarlos?

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PD: esta investigación la hice el curso pasado con los alumnos de 4º de ESO y nos lo pasamos en grande. Y el razonamiento matemático que hay detrás es bastante grande y, sobre todo, es una forma muy real de aplicarlo.

Problema 7: Graduación por Dan Meyer

Es otro de los muchos que me gustan de Dan Meyer. Os dejo con el enlace y la metodología es la misma que para el problema anterior:Graduation http://www.101qs.com/3530

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La pregunta es “¿Cuánto tiempo puede durar mi siesta si no quiero perderme la graduación de mi primo Adarsh?”

Problema 8: Triángulo de unos y ceros

investigacion8De la figura de al lado:

  • Deduce como se construye el triángulo
  • ¿Qué filas tendrán todos los números iguales?
  • ¿Cuántos números son necesarios para construir las primeras 5 filas? ¿ Y las 100?
  • ¿Cuántos números habrá en un triángulo de n filas?

 

Problema 9: Oh, ¿para dónde voy?

En la siguiente imagen, extraída de Figure This del NCTM, se nos plantea un problema que debemos resolver:

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Problema 10: ¿Cuán rápido late tu corazón?

Similar al anterior pero con esta imagen:

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Problema 11: Adivina el número entre 1 y 100

Y finalizo con uno muy sencillo perteneciente al Proyecto Descartes que me ha recomendado José A. Salgueiro en twitter.

Accedemos a la siguiente web y jugamos en la pizarra digital o con el proyector al juego “Adivina un número del 1 al 100”

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Pero no nos quedamos solo en el juego. Les animamos a:

  • Buscar la estrategia que te asegura hacerlo siempre en menos de 10 intentos.
  • Explicar con tus propias palabras el porqué.

 

Y esto es todo amigos, espero vuestras opiniones y, por supuesto, vuestras recomendaciones.

Actividades matemáticas para la primera semana de clase (I)

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Happy & Sad de Farrukh

  • Están los que van a saco con la asignatura y explican lo más rápido posible, las normas, los materiales, la evaluación, etc., como si no hubiera más días de clase para hablar de estas cosas. Generalmente, quieren ir rápidamente a empezar pronto con la materia ya que es el medio dónde mejor se desenvuelven (su zona de confort en el aula, que los profesores también la buscamos, tanto o más que los alumnos).
  • Otros tratan de hacer la primera clase, lo que realmente es, un punto de encuentro, un momento y lugar en el que tenemos que empezar a conocernos, a saber más de nosotros y a empezar empatizar y a buscar puntos de conexión. El enfoque de la clase es totalmente distinto, nos dedicamos a lo anterior, con diferentes estrategias: diálogo sin presión, dinámicas de conocimiento, introducción a las asignatura de forma lúdica, etc.

Podemos estar en cualquiera de estos dos bandos, que cada uno elija el que quiera. Por el bien de los alumnos (del profesor) y del fluir de la clase durante el resto del curso, recomiendo encarecidamente que vayamos al segundo enfoque. Es fundamental, empezar, alumnos y profesores, con buenas sensaciones y con un clima lo más agradable posible (recuerda durante todo el curso, entrar con una sonrisa a la clase, los problemas los dejamos fuera y los que nos surjan, porque nos surgirán, los iremos solucionando con tranquilidad).

Todo lo que os he comentado anteriormente sirve para cualquier asignatura pero yo como soy de mates, os voy a hablar de la mía. Las matemáticas son una asignatura (lo que ya conlleva un rechazo a primeras del alumno, por el carácter impositivo que tienen las asignaturas) que provoca el rechazo en muchos alumnos, una asignatura estigmatizada. Sobre el porqué de esta aversión, desde hace tiempo me gustaría saber en qué momento han llegado los alumnos a ese sentimiento hacia las  mates; la realidad es que a 1º de ESO llegan, muchos de los alumnos, con ese sentimiento negativo hacia la asignatura.

Además la asignatura tiene una connotación social contra la que tenemos que pelear el profesorado de matemáticas:

  • Los padres y los alumnos, la consideran, a priori, una asignatura difícil con todos los prejuicios que conlleva esto. Ya comenté en este blog, en otra entrada dedicada a las matemáticas más creativas, divertidas y bellas, el comentario de una madre en el consejo escolar al decirle que era de matemáticas “¡Cómo te tienen que odiar los alumnos!”. ¡Ahí queda eso, ni más ni menos! Ni me conocía, ni había preguntado a los alumnos, etc (si lo hubiera hecho se hubiera llevado una gran sorpresa ;-)). Evidentemente, se trataba de un prejuicio que puede que estuviera fundamentado en su propia experiencia, no digo que no.
  • Por otro lado, está socialmente bien visto decir que soy de letras y los números no son lo mío. Recuerdo a un consejero de educación decirlo en un discurso inaugural de unas jornadas y quedarse tan ancho. Ni se las veces que he oído decir a mis compañeros con orgullo que ellos comprenden a los alumnos en su relación con las matemáticas. Jamás se me ocurrirá a mi vanagloriarme de ser una ignorante total en cualquier disciplina, me gustaría saber de todas. Sin embargo, de matemáticas se puede decir y hasta parecer que quedas bien con la gran mayoría. Pues te digo que conmigo no quedas bien, y no por no saberlo, sino por alardear de tu ignorancia. Tan perteneciente a la cultura es Cervantes como Newton o Euclides (por decir algunos).
  • Y la tercera pata, es que toda la sociedad asocia la dificultad a las matemáticas. Usando una identidad tenemos “Matemáticas=díficil“. No recuerdo el banco que en su campaña de publicidad decía, más o menos, “Invertir es mucho más sencillo que hacer matemáticas”. Cierto es que tienen una capa de abstracción, de razonamiento inductivo, lógico, secuencial, etc que puede generar dificultad pero de ahí a que son difíciles per se, pues no.

Pero es que las matemáticas son, y en esto subscribo la opinión de G.H. Hardy, un arte, el arte de la explicación. En este camino, hacia el desencuentro social con las matemáticas, seguramente, tenemos mucho que decir los profesores de matemáticas y los currículos que martirizan a nuestros alumnos con operaciones repetitivas, abstractas, sin sentido y, totalmente descontextualizadas que hacen formarse una idea totalmente errónea de lo que son las matemáticas, la belleza que engloban y lo fascinantes que son. El hecho de poder modelizar el mundo, simplemente con la mente humana (a lo más, con la ayuda de un lápiz y un papel), me parece sublime. Si queréis admirar la belleza de las matemáticas, os recomiendo ver estos dos vídeos de Cristóbal Vila: “Nature by numbers” e “Inspirations“. No tienen desperdicio, se los pongo mis alumnos y se les quedan los ojos como platos.

Subscribo desde la primera palabra hasta la última este párrafo sacado de “El lamento de un matemático” de Paul Lockard (que también os sugiero leer con la mente abierta y libre de prejuicios):

Si privas a los alumnos de tener la oportunidad de participar en esta actividad de proponer problemas, hacer sus propias conjeturas y descubrimientos, de estar equivocados, de estar creativamente frustrados, de tener una inspiración, y de improvisar sus propias explicaciones y demostraciones, les estás privando de las matemáticas en sí mismas. Así que no, no estoy protestando por la presencia de hechos y fórmulas en las clases de matemáticas, estoy protestando por la falta de matemáticas en las clases de matemáticas.

El lamento de un matemático de Paul Lockard.

Demoledora frase de Lockard que nos debe hacer reflexionar, tanto a los que enseñamos matemáticas como a aquellos que se dedican a decir qué tenemos que enseñar o qué tienen que aprender nuestros alumnos de matemáticas.

Y el núcleo (o igual no) de este artículo es compartir con vosotros diferentes actividades para hacer,  junto a vuestros alumnos (o con vuestros hijos, ¿por qué no?), matemáticas. Unas matemáticas más cercanas, más divertidas, más abiertas y, por lo tanto, más interesantes y, no por ello, más al contrario, dejan de ser matemáticas (nos miren como nos miren). Pueden ser ideales para las primeras clases y, ¿por qué no? para trabajar durante todo el curso, las estrategias, la resolución de problemas, la deducción, etc.

Las diferentes actividades las tengo clasificadas de la siguiente forma:

  • Juegos matemáticos
  • Investigación en matemáticas
  • Magia matemática.

En esta entrada, os voy a recomendar una batería de juegos matemáticos. Os recuerdo que ya hablamos de los juegos de estrategia para clase de matemáticas y que pueden complementar a los que os traigo hoy.

1. Juego de matemáticas del año 2015

Como este juego, nos podemos inventar miles de variantes sobre ka misma idea.
Con los dígitos en el año 2015 y las operaciones +, -, x, ÷, sqrt (raíz cuadrada),^ (elevar a una potencia),! (factorial), y !! (factorial doble), junto con los símbolos de agrupación, conseguir los números del 1 al 100. Las reglas son:

  • Los cuatro dígitos se deben utilizar en la expresión.
  • Sólo se pueden usar los dígitos 2, 0, 1 y 5. (1)
  • Números de varios dígitos, como 20, 210, o 0,02 PUEDEN ser utilizados este año.Tenga en cuenta que 0,02, mientras que equivale a 0,02, no sería aceptable ya que sólo un 0 es disponible este año.
  • La función cuadrado solo puede ser utilizado al usar el 2.. Tampoco se puede elevar al cubo, a la cuarta, o cualquier otra función que eleva un número a una potencia específica. Por ejemplo, (1 + 5) ^ 2 – 0! es una forma aceptable para escribir 35, porque ^ es una operación aceptable y que usa exactamente los dígitos 1, 5, 2 y 0. Pero 5 ^ 2 + 2 + 1 + 0! no es una forma aceptable para escribir 29, porque “^ 2” no es una operación aceptable, y no están disponibles dos doses. Del mismo modo, 2 ^ 3 + 5 – 1 – 0 en el electrónico no sería aceptable, ya que “^3” no es una operación aceptable.

(1) Es preferible usar el orden: 2, 0, 1, 5 .

Os dejo dos documentos que os pueden ayudar por si queréis llevarlos al aula:

2. Resolver SETS o Trifectas

Con este juego me he entretenido, y mucho, durante este verano.

El objetivo del juego es identificar un grupo SET o Trifecta de tres naipes entre doce arreglados sobre la mesa.

Un SET consiste de tres naipes en los que cada característica es igual o es diferente. Es decir, cualquier característica en el SET es común en los tres naipes o es completamente diferente.  Es decir, los tres naipes en el SET  deben tener el mismo color, o uno de cada color; el mismo símbolo, o uno de cada símbolo; el mismo número o uno de cada número y finalmente, el mismo tono o uno de cada tono.

Ejemplos de SETs:

Todos los tres naipes contienen el mismo símbolo, el mismo color, el mismo nombre de símbolos y todos contienen tonos diferentes.

Todos los tres naipes contienen símbolos diferentes, colores diferentes, nombres de símbolos diferentes y todos los tres tienen el mismo tono.

Todos los tres naipes contienen símbolos diferentes, colores diferentes, nombres de símbolos diferentes y tonos diferentes.

Os dejo unos cuantos tableros para que resolváis:

En este primer tablero tenéis que encontrar 4 SETs.

Encontrar 4 SETs:

Encontrar 6 SETs:

Encontrar 6 SETs:

Y si queréis jugar online o recopilar más tableros de SETs o trifrectas:

3. Juego del HEX

El hex es un juego entre dos jugadores que van colocando por turnos fichas sobre un tablero romboidal, compuesto de casilleros hexagonales (generalmente de 10 por 10, 11 por 11 hexágonos, o mayores tamaños). Las fichas se distinguen por su color, asociándose uno a cada jugador, y gana quien consigue formar una línea de sus fichas que conecte dos laterales opuestos del tablero previamente asignados.

4. Juego del NIM y variantes

El Nim es un juego de mesa muy antiguo. Nim , en inglés antiguo, es “quitar” o “retirar”. Es un juego muy famoso, hasta el punto de verse reflejado en libros, como el best-seller

En este juego, dos jugadores a los que llamaremos A y B, colocan un número arbitrario de fichas (cerillas,palillos, piedras) sobre una superficie, dispuestos en varias filas. Tanto el número de filas como el número de fichas en cada fila son también arbitrarios.

El primer jugador A, toma cualquier número de fichas de un fila, entre uno y el total de la fila, pero sólo de una fila.

El otro jugador, B, hace su jugada de manera similar, retirando algunas de las fichas que quedan, y así sucesivamente, los jugadores van alternándose en sus jugadas. Gana el jugador que saca la última ficha.

Este juego se basa en la pura lógica. Por ejemplo con el juego original, que está representado debajo, el que no empieza tiene estrategia ganadora:

Os dejo otro juego Nim, muy sencillo:

Podríamos añadir muchos más juegos: sudokus, kenkens, etc. Espero que os hayan gustado y que traspaséis a vuestros alumnos el amor y la pasión por las matemáticas.

En el próximo artículo os compartiré diferentes actividades de investigación que pueden resultar, además de entretenidas y con gran contenido matemático, altamente motivantes.

Siguientes artículos de la serie:

PD: espero vuestras aportaciones con más juegos para conseguir tener una batería más potente.

El objetivo del juego es identificar
un grupo SET de tres naipes entre doce arreglados sobre la mesa.

Matemáticas cotidianas I

Hace tiempo que no vienen a este blog problemas matemáticos. Os voy a plantear un problema matemático muy relacionado con la vida cotidiana, para aquellos que digan que las matemáticas no están siempre presentes en nuestra vida.

Se quieren unir cuatro ciudades con cable de fibra óptica. Para hacerlo más sencillo, supongamos que las ciudades están sobre los vértices de un cuadrado. ¿Cuál es la distancia mínima para unirlas?. O lo  que es lo mismo ¿cuál será el gasto mínimo?.

Y si son 5 ciudades ó 6 ó … ¿Se puede generalizar la solución?

Acertijo del cumpleaños

Un acertijo muy simple y muy conocido

Durante el cumpleaños de Ximena se dio el siguiente diálogo:

Yvette: – Yo cumplo años exactamente 15 dí­as después que Ximena –

Zunilda: – Qué casualidad. Yo los cumplo 15 dí­as después que Yvette –

Ximena: – ¿Se fijaron que los tres cumpleaños caen en un dí­a impar? –

¿Qué dí­as cumplen años las chicas?

Acertijo: El dinero de los sobres.

He visto este acertijo en Acertijos y mas cosas.

No es un acertijo difícil, pero de todas maneras, a ver quién encuentra la solución:

En una mesa hay tres sobres marcados con las letras A, B y C. Los tres contienen una cantidad (entera) diferente de euros y no hay ninguno vacío, con la peculiaridad de que el sobre C es el que más euros tiene y el sobre A el que menos.

Antonio, Bea y Carmelo son tres hermanos , muy razonadores y de pensamiento lógico.

Examinan cada uno el sobre marcado con su inicial.

El total de dinero en los tres sobres es de 13 euros. Antonio, después de mirar el contenido de su sobre, declara que no puede deducir el contenido de los otros sobres. Mira entonces Carlmelo el suyo y dice que él tampoco puede saberlo. Entonces, Bea examina el suyo y declara que tampoco ella puede deducirlo.

¿Cuánto dinero hay en el sobre B?