Cada cierto tiempo procuro sacar tiempo en el aula para trabajar la resolución de problemas. Para ello, planteo sesiones de retos matemáticos o de problemas abiertos. Estas sesiones, a pesar de la dificultad, les gustan mucho a los alumnos ya que suponen una forma distinta de afrontar la clase: tienen que ponerse a pensar, a elucubrar, y a jugar con las matemáticas. Hacen hipótesis, las contrastan y las verifican. No siempre lo hacen con el orden y el rigor que a mi me gustaría, pero les dejo libertad para afrontar los problemas. Lo que si suelo hacer es hablarles del problema del bloqueo, les aviso que lo padecemos todos (yo el primero) pero que no por ello hay que resignarse. Trato poco a poco de introducirles el esquema de resolución de problemas de Polya (sin citarlo, por supuesto).
Todo este tema ya se ha tratado en este blog en los siguientes artículos que os recomiendo que echéis una miradita:
En esta entrada, quería compartir con vosotros una sesión que he llevado a cabo en 2º de ESO con tres retos matemáticos de diferente dificultad y con diferente presentación:
Reto 1: ¿Qué rápido late tu corazón?
¿Qué rápido late tu corazón? No lo sabes, pues trata de resolver las siguientes preguntas:
¿Cuánto tardaría en latir mil veces?
Si empezaras a contar tus latidos la medianoche del 1 de enero de 2015, entonces ¿cuándo contarías el latido “del millón”? ¿Cuándo el de “mil millones”?
¿Cuántos latidos dará tu corazón en tu vida si vives 80 años?
Reto 2: los caramelos
En una caja hay 5 caramelos de menta y 6 de limón. Sin mirarlos, ¿Cuántos caramelos hay que sacar como mínimo para tener de forma segura uno de cada sabor?
Reto 3: El enigma del puente
Este problema les ha encantado, probablemente por que su introducción es a través de un vídeo muy bien creado.
Hay que ver el siguiente vídeo y resolver el enigma:
Esta entrada es la continuación de una anterior en la que compartí con vosotros una serie de juegos para usar en la primera semana de clase, así como una reflexión en la que daba mi opinión sobre el enfoque de la clase de matemáticas y los prejuicios que existen en la sociedad con respecto a las matemáticas.
Ahora os quiero compartir otra serie de actividades de investigación abiertas que ayudan a trabajar el razonamiento matemático mediante la investigación. En ellas los alumnos crearán conjeturas, reducirán a casos más simples, validarán sus hipótesis, discutirán sus soluciones y, no menos importante, se divertirán haciendo matemáticas.
Problema 1: ¿Cuántos cuadrados hay?
Empezamos con un problema sencillo que requiere una estrategia de simplificar el problema.
Problema 2: La mágica fórmula de Euler
Observa el dibujo y haz lo siguiente:
Dibuja un garabato sin levantar el lápiz del papel, de forma que la línea que dibujes se corte consigo misma. Deja el principio y el final de la línea bien visibles.
Esta es la predicción que vamos a hacer: C+V=A+2
Cuenta los nodos, es decir, los puntos en los que la línea que has dibujado se corta consigo misma. Incluye también el comienzo y el final de la línea. A esta cantidad la llamaremos V.
Cuenta las zonas en las que ha quedado dividido el papel, incluyendo la zona exterior. No te dejes ni un hueco. A este número le vamos a llamar C.
Ahora cuenta los segmentos en los que ha quedado dividida la línea que has trazado. No olvides el principio y el final de la línea. A este número lo llamaremos A.
Se les muestra a los alumnos este texto y tienen que tratar de adivinar qué estamos diciendo. Podemos seguir, invitándoles a crear sus propios códigos.
Problema 4: Los puntos y las líneas
Une los nueve puntos de la figura mediante una sola línea que conste de cuatro segmentos sin levantar el lápiz del papel.
PD: No se puede aplicar el teorema del punto gordo 😉
Problema 5: Estructuras de cubos
Construye las dos figuras que siguen de cada una de las series:
¿Cuántos cubos se necesitan para una altura de 6? ¿y de 8? ¿y para 50?
Generaliza para una altura cualquiera
Para esta investigación, es ideal contar con cubos de construcción.
Problema 6: Super Stairs por Dan Meyer
Esta actividad está basada en uno de mis ídolos en la enseñanza de las matemáticas: Dan Meyer. Antes de explicar la actividad, os invito a ver el vídeo de Dan Meyer «Las clases de matematicas necesitan un cambio de imagen» en el que explica su metodología, de lo mejor que he visto y que podéis ver:
En el primer paso, vemos el vídeo que podemos encontrar en la web.
En el segundo paso, los alumnos se hacen preguntas y solicitan datos. que les daremos, pero siempre después de que ellos los pidan, no antes.
En el tercer paso, vemos la respuesta y contrastamos las respuestas de los alumnos.
En el vídeo vemos a Dan Meyer subiendo escaleras. Las preguntas a resolver son:
¿Cuántos pasos realiza el súper escaleras?
¿Cuánto tiempo le llevará realizarlos?
PD: esta investigación la hice el curso pasado con los alumnos de 4º de ESO y nos lo pasamos en grande. Y el razonamiento matemático que hay detrás es bastante grande y, sobre todo, es una forma muy real de aplicarlo.
Problema 7: Graduación por Dan Meyer
Es otro de los muchos que me gustan de Dan Meyer. Os dejo con el enlace y la metodología es la misma que para el problema anterior:Graduationhttp://www.101qs.com/3530
La pregunta es «¿Cuánto tiempo puede durar mi siesta si no quiero perderme la graduación de mi primo Adarsh?»
Problema 8: Triángulo de unos y ceros
De la figura de al lado:
Deduce como se construye el triángulo
¿Qué filas tendrán todos los números iguales?
¿Cuántos números son necesarios para construir las primeras 5 filas? ¿ Y las 100?
¿Cuántos números habrá en un triángulo de n filas?
Problema 9: Oh, ¿para dónde voy?
En la siguiente imagen, extraída de Figure This del NCTM, se nos plantea un problema que debemos resolver:
Que el juego es un potente elemento de aprendizaje creo que no le cabe duda a nadie. Y si hay una disciplina dónde existen múltiples juegos, ésta es las matemáticas. Me vienen las palabras del maestro Miguel de Guzmán al respecto:
“El juego y la belleza están en el origen de una gran parte de la matemática. Si los matemáticos de todos los tiempos se la han pasado tan bien jugando y han disfrutado tanto contemplando su juego y su ciencia, ¿por qué no tratar de aprender la matemática a través del juego y de la belleza?”
Considero que a través de los juegos de matemáticas podemos:
Divertirnos que no es poco
Manipulación autónoma por los estudiantes
Una rápida familiarización con la situación y sus dificultades
Ensayos diversos y diferentes por los estudiantes
Investigar pautas y comportamientos en el juego
Analizar reglas y estrategias para jugar mejor lo que supone elaborar las estrategias posibles y elegir de entre ellas.
…
Si nos fijamos en todo lo anterior, podemos ver que están presentes los cuatro pasos (*) para resolver problemas que Polya nos dejó :
Entender el problema.
Configurar un plan
Ejecutar el plan
Mirar hacia atrás
Al igual que Polya pienso que el aprendizaje en base a la resolución de problemas es el recurso más potente que tenemos para el aula de matemáticas. Sin embargo, la presión del currículo, con sus excesivos contenidos, su orientación hacia el bachillerato y sus criterios de evaluación conllevan el tener que trabajar muchas veces de forma más mecánica. Esta forma de trabajar, añade más abstracción (nos olvidamos de pasar de lo Concreto a lo Abstracto CP) con lo que se otorga mayor dificultad a las matemáticas.
Por otro lado, también tenemos que luchar contra las muchas resistencias a la asignatura (la gran mayoría de los alumnos me llegan a primero con el mantra bien aprendido de que no les gustan las matemáticas, ¿comorrr?). A modo de ejemplo, os pongo un tuit que publiqué con una anécdota que me sucedió la semana pasada y que muestra muy bien lo que quiero decir:
Con objeto de romper todo lo que anteriormente he nombrado, de vez en cuando, aproximadamente cada 15 días, hacemos una sesión de problemas abiertos. Sesión que les gusta mucho, en la que nos dividimos en parejas, grupos de tres o de cuatro personas y nos ponemos a resolver problemas abiertos. Para mi problemas abiertos, son aquellos que se pueden resolver con un buen razonamiento matemático y para los que no es necesario tener muchos conocimientos de matemáticas.
Os comparto algunos de los juegos de estrategia que he usado con los alumnos dentro de dichas sesiones. En concreto, son juegos de estrategia ganadora que son muy motivantes y que les suponen un reto, sobre todo cuando ven que les gano siempre ;-):
Espero que os gusten y espero vuestras opiniones y aportaciones.
(*) Aquí tenéis una presentación que muestra el método de Polya